MACK 2009 Matemática - Questões

Para $n$ números $a_{1} , \, a_{2} , \, ... \, , \, a_{n}$, definimos sua média aritmética $M_a$ e sua média geométrica $M_g$ pelas expressões:

$$\begin{cases} \ M_a=\dfrac{a_{1} +a_{2} +...+a_{n} }{n} \\ \\ \\ \ M_g=\sqrt[{n}]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot ...\cdot a_{n} } \end{cases}$$

Se a média aritmética entre dois números é $30$ e a geométrica é $18$, então o módulo da diferença entre esses números é

Para realizar um evento, em um local que tem a forma de um quadrado com $60$ metros de lado, foi colocado um palco em forma de um setor circular, com $20$ metros de raio e $40$ metros de comprimento de arco. Adotando-se $\pi =3$, e considerando que a ocupação média por metro quadrado é de $5$ pessoas na plateia, o número mais próximo de pessoas presentes, na plateia, é

Se as raízes do polinômio $p\left(x\right)=x^{3} +\dfrac{13}{18}\cdot x^{2} +\dfrac{13}{108}\cdot x+m$ estão em uma progressão geométrica de razão $\dfrac{1}{3}$ , o valor de $m$ é

Sabendo-se que um anagrama de uma palavra é obtido trocando-se a ordem de suas letras, sem repeti-las, e considerando-se a palavra $MACK$, a quantidade de anagramas que podem ser formados com duas, três ou quatro letras dessa palavra, sem repetição de letras, é

Sejam as funções $f\left(x\right)=\log _{4} x$ e $g\left(x\right)= \hspace{2pt}\mathrm{sen}\ \left(x\right)$, com $0