ITA 2019 Matemática - Questões

Considere um retângulo $ABCD$ em que o comprimento do lado $AB$ é o dobro do comprimento do lado $BC$. Sejam $M$ o ponto médio de $BC$ e $N$ o ponto médio de $CM$. A tangente do ângulo $\hat{MAN}$ é igual a

Determine os valores reais de a e b para os quais as equações $x^3+ax^2+ 18 = 0$ e $x^3+bx+ 12 = 0$ possuam duas raízes em comum e, a seguir, determine essas raízes.

Seja $p(x) = x^3 + ax^2 + bx$ um polinômio cujas raízes são não negativas e estão em progressão aritmética. Sabendo que a soma de seus coeficientes é igual a $10$, podemos afirmar que a soma das raízes de $p(x)$ é igual a

Determine todas as soluções da equação $\sin^6x + \cos^6 x =\frac{7}{12}$.

Seja $\gamma$ a circunferência de equação $x^2 + y^2 = 4$. Se $r$ e $s$ são duas retas que se interceptam no ponto $P = (1, 3)$ e são tangentes a $\gamma$, então o cosseno do ângulo entre $r$ e $s$ é igual a