ITA 2011 Matemática - Questões

Dado $z = \frac{1}{2} (-1 + \sqrt3 i)$, então$\sum_{n=1}^{89} z^n$ é igual a

Das afirmações abaixo sobre números complexos $z_1$ e $z_2$: 

• I - $|z_1 – z_2| \leq | | z_1| - | z_2| |$. 

• II - $| \overline{z_1}\cdot z_2| = | |z_2| \cdot | z_2| |$. 

• III - Se $z_1 = | z_1| (\cos \theta + i \sin \theta) \neq 0$, então $z^{-1}_1 = | z_1|^{ -1} (\cos \theta - i \sin \theta)$. 

é(são) sempre verdadeira(s)

A soma de todas as soluções da equação em $\mathbb{C} : z^2 + |z|^2 + i z - 1 = 0$ é igual a

Numa caixa com $40$ moedas, $5$ apresentam duas caras, $10$ são normais (cara e coroa) e as demais apresentam duas coroas. Uma moeda é retirada ao acaso e a face observada mostra uma coroa. A probabilidade de a outra face desta moeda também apresentar uma coroa é

Sejam $A$ e $B$ conjuntos finitos e não vazios tais que $A \subset B$ e $n(\{C : C \subset B\ \backslash\ A\}) = 128$. Então, das afirmações abaixo: 

• I - $n(B) - n(A)$ é único; 

• II - $n(B) + n(A) \leq 128$; 

• III - a dupla ordenada $(n(A), n(B))$ é única; 

é(são) verdadeira(s)