ITA 2006 Matemática - Questões

Seja $E$ um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos $\overline{EA}$ e $\overline{ED}$ interceptam essa circunferência nos pontos $B$ e $A$, e, $C$ e $D$, respectivamente. A corda $\overline{AF}$ da circunferência intercepta o segmento $\overline{ED}$ no ponto $G$: Se $EB = 5$, $BA = 7$, $EC = 4$, $GD = 3$ e $AG = 6$, então $GF$ vale

Seja $U$ um conjunto não vazio com $n$ elementos, $n \ge 1$. Seja $S$ um subconjunto de $p(U)$ com a seguinte propriedade:

Se $A, B \in S$, então $A \subset B$ ou $B \subset A$.

Então, o número máximo de elementos que $S$ pode ter é

Sejam $A$ e $B$ subconjuntos finitos de um mesmo conjunto $X$, tais que $n(B\setminus A)$, $n(A\setminus B)$ e $n(A\cap B)$ formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão $r > 0$. Sabendo que $n(B\setminus A) = 4$ e $n(A \cup B) + r = 64$, então, $n(A\setminus B)$ é igual a

Seja $f:\ \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = \sqrt{77} \sin[5(x + \pi /6)]$ e seja $B$ o conjunto dado por $B = \{x \in \mathbb{R}: f(x) = 0\}$.

Se $m$ é o maior elemento de $B\cap (-\infty , 0)$ e $n$ é o menor elemento de $B \cap (0, +\infty)$, então $m+n$ é igual a

Considere a equação $(a^x - a^{-x})/(a^x + a^{-x}) = m$, na variável real $x$, com $0 < a \ne 1$. O conjunto de todos os valores de $m$ para os quais esta equação admite solução real é