ITA 1994 Matemática - Questões

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Sejam $x$ e $y$ números reais, com $x \neq 0$, satisfazendo $(x + iy)^2= (x + y)i$, então:


Considere as afirmações:

  • I- $(\cos \theta + i \sin\theta )^{10} = \cos (10\theta ) + i\cdot\sin(10\theta )$, para todo $ \theta \in R$.

  • II- $\dfrac{(5i)}{(2 + i)} = 1 + 2i$

  • III- $(1 - i)^4= - 4$

  • IV- Se $z^2 =( z )^2$ então z é real ou imaginário puro.

  • V- O polinômio $x^4+ x^3- x - 1$ possui apenas raízes reais.

Podemos concluir:


Dadas as funções reais de variável real $f(x) = mx + 1$ e $g(x) = x + m$, onde m é uma constante real com $0 < m <1$, considere as afirmações:

  1. $(f\circ g)(x) = (g\circ f)(x)$, para algum $x \in R$.

  2. $f(m) = g(m)$

  3. Existe $a \in R $ tal que $(f\circ g)(a) = f(a)$.

  4. Existe $b \in R$ tal que $(f\circ g)(b) = mb$.

  5. $0 < (g\circ g)(m) < 3$

Podemos concluir


A identidade: $$\dfrac{x^3 + 4}{x^3 + 1} = 1 + \dfrac{a}{x+1}+ \dfrac{bx+c}{x^2 - x + 1}$$é válida para todo real $x \neq -1$. Então $a + b + c$ é igual a:


As raízes da equação de coeficientes reais $x^3+ax^2+ bx + c = 0$ são inteiros positivos consecutivos. A soma dos quadrados dessas raízes é igual a 14. Então $a^2+ b^2+ c^2$é igual a:


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