ITA 1991 - Questões

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Uma escola possui $18$ professores sendo $7$ de Matemática, $3$ de Física e $4$ de Química. De quantas maneiras podemos formar comissões de $12$ professores de modo que cada uma contenha exatamente $5$ professores de Matemática, com no mínimo $2$ de Física e no máximo $2$ de Química ?


Sejam $M$ e $B$ matrizes quadradas de ordem $n$ tais que $M - M^{-1} = B$. Sabendo que $M^t = M^{-1}$ podemos afirmar que:

Notações: $M^t$ e $M^{-1}$ denotam
respectivamente a matriz transposta de $M$ e a matriz inversa de $M$. Por $I$ denotamos a matriz identidade de ordem $n$.

Seja $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por: $$\begin{cases} e^x, \text{ se } x \leq 0\\ x^2 - 1, \text{ se } 0< x < 1\\ \ln x \, \text{ se } x \geq 1 \end{cases}$$Se $D$ é um subconjunto não vazio de $R$ tal que $f: D\to \mathbb{R}$ é injetora, então:

Notação: $f(D) = {y \in \mathbb{R}: y = f(x), x \in D}$ e $\ln x$ denota o logaritmo neperiano de x. Observação: esta questão pode ser resolvida graficamente.

Se $(x , y , z , t)$ é solução dos sistema: $$\begin{cases} x - y + 2z - t = 0\\ 3x + y + 3z + t = 0\\ x - y -z -5t = 0 \end{cases}$$Qual das alternativas abaixo é verdadeira ?


Se $a \in \mathbb{R}$ com $a > 0$ e $\arcsin \dfrac{a - 1}{a + 1}$ está no primeiro quadrante, então o valor de $\tan \left[\arcsin \dfrac{a-1}{a+1} + \arctan \dfrac{1}{2\sqrt{a}}\right]$ é:


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