IME 2021 Matemática - Questões

Determine a soma dos coeficientes de $x^3$ na expansao de $ (1 + x) ^4 (2 − x^2 ) ^5$ .

Calcule o(s) valor(es) de $k$ real(is) para que o determinante da matriz abaixo seja igual a $24$

$$\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 2 \\ 1 & k & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 3 \\ 4 & 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$

Considere que $a \neq 0$, $b \neq 0$ e $(a + b) \neq 0$. Sabendo-se que $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{ a} = 3$, determine o valor de $\dfrac{a^2+b^2}{ 2(a+b) ^2}$ .

Calcule os valores reais de $x$ que satisfaçam a inequação$$\sqrt{\log_{3}x + 1} + \frac{1}{3}\cdot \log_{\frac{1}{3}}{(x^2)} + \frac{7}{3} > 0$$

Seja a função $f(x) = 2x^4−8x^3 +4x−7$. Considere uma reta qualquer que corta o grafico dessa ´ func¸ao em quatro pontos distintos: $ (x_1 , y_1), (x_2 , y_2), (x_3 , y_3) $ e $(x_4 , y_4)$. O valor de $\dfrac{x_1+x_2+x_3+x_4}{ 2}$ é: