IME 2020 Matemática - Questões

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Seja $U$ o conjunto dos $1000$ primeiros números naturais maiores que zero. Considere que zeros à esquerda são omitidos. Seja $A \subseteq U$ o conjunto de números cuja representação na base $10$ tem o algarismo mais significativo igual a $1$; e $B \subseteq U$ o conjunto de números cuja representação na base $4$ tem o algarismo mais significativo igual a $2$. As cardinalidades de $A - B$ e de $B - A$ são, respectivamente:

Cardinalidade de um conjunto finito é o número de elementos distintos desse conjunto.

Sejam $a$ e $b$ raízes da equação $x^2 - 4x + M = 0$, $c$ e $d$ raízes da equação $x^2 - 36x + N = 0$. Sabendo-se que $a$, $b$, $c$ e $d$ formam uma progressão geométrica crescente, determine o valor de $M + N$.

O menor número natural ímpar que possui o mesmo número de divisores que $1800$ está no intervalo:


Seja uma região $\textbf{S}$ no plano complexo que consiste em todos os pontos $Z$ tais que $\dfrac{Z}{20}$ e $\dfrac{20}{\overline{Z}}$ possuem partes real e imaginária entre $0$ e $1$, inclusive. Determine a área da região $\textbf{S}$.

Obs: $\mathbb{Z}$ é o conjugado do número complexo $\mathbb{Z}$.

Considere os conjuntos $A = \{0{,} \ 1{,} \ 2{,} \ 3{,} \ 4\}$ e $B = \{1{,} \ 2{,} \ 3{,} \ 4{,} \ 5{,} \ 6{,} \ 7{,} \ 8{,} \ 9{,} \ 10\}$. Seja $F$ o conjunto de funções cujo domínio é $A$ e cujo contradomínio é $B$. Escolhendo-se ao acaso uma função $f$ de $F$, a probabilidade de $f$ ser estritamente crescente ou ser injetora é:


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