IME 2017 - Questões

Um tronco de pirâmide regular possui $12$ vértices. A soma dos perímetros das bases é $36\ cm$, a soma das áreas das bases é $30\sqrt3\ cm^2$ e sua altura mede $3\ cm$. Calcule o volume do tronco de pirâmide.

Sejam $Z_1$ e $Z_2$ números complexos tais que $Z_2$ é imaginário puro e $|Z_1-Z_2|=|Z_2|$. Para quaisquer valores de $Z_1$ e $Z_2$ que atendam a essas condições tem-se que:

Calcule o valor de $\frac{\sin^4\alpha+\cos^4\alpha}{\sin^6\alpha+\cos^6\alpha}$, sabendo-se que $\sin\alpha\cos\alpha=\frac{1}{5}$.

Seja a equação$$y^{\log_3\sqrt{3y}}=y^{\log_33y}-6,\ \ y>0$$O produto das raízes reais desta equação é igual a:

O sistema de inequações abaixo admite $k$ soluções inteiras. Pode-se afirmar que:$$\begin{cases}\frac{x^2-2x-14}{x}>3 \\ x\leq12\end{cases}$$