IME 2016 Matemática - Questões

Dados três conjuntos quaisquer $F$, $G$ e $H$. O conjunto $G - H$ é igual ao conjunto:

Os inteiros $a_1$, $a_2$, $a_3$, $\cdots$, $a_{25}$ estão com PA com razão não nula. Os termos $a_1$, $a_2$ e $a_{10}$ estão em PG, assim como $a_6$, $a_j$ e $a_{25}$. Determine $j$.

O polinômio $x^3+ax^2+bx+c$ tem raízes reais $\alpha$, $-\alpha$ e $\frac{1}{\alpha}$. Portanto o valor da soma $b+c^2+ac+\frac{b}{c^2}$ é:

Sejam as funções $f_n$, para $n \in \{0,1,2,3,\cdots\}$, tais que: $f_0(x)=\frac{1}{(1-x)}$ e $f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))$, para $n\geq1$. Calcule $f_{2016}(2016)$.

Sabendo-se que $m$ e $n$ são inteiros positivos tais que $3^m + 14400 = n^2$, determine o resto da divisão de $m+n$ por $5$.