IME 2016 - Questões

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Em um triângulo $ABC$, o ponto $D$ é o pé da bissetriz relativa ao ângulo $\hat{A}$.Sabe-se que $\overline{AC}=\overline{AD}$, $r=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}$ e que $\hat{C}=\alpha$. Portanto o valor de $\sin^2\alpha$ é


Sabendo-se que $m$ e $n$ são inteiros positivos tais que $3^m + 14400 = n^2$, determine o resto da divisão de $m+n$ por $5$.


Seja $P(x) = x^2 + ax +b$ . Sabe-se que $P(x)$ e $P(P(P(x)))$ têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para todo valor $a$ e $b$


O valor da soma abaixo é:$$\begin{pmatrix}2016\\5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2017\\5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2018\\5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2019\\5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2020\\5\end{pmatrix}+ \begin{pmatrix}2016\\5\end{pmatrix}$$


O polinômio $x^3+ax^2+bx+c$ tem raízes reais $\alpha$, $-\alpha$ e $\frac{1}{\alpha}$. Portanto o valor da soma $b+c^2+ac+\frac{b}{c^2}$ é:


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