IME 2013 - Questões

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01 IME 2013 - Matemática

Considere a figura abaixo formada por arcos de circunferência tangentes cujos centros formam um pentágono regular inscritível em uma circunferência de raio $R$. O perímetro da figura é

$\frac{7 \pi R}{2} \sqrt{10 – 2 \sqrt{5}}$

$\frac{7 \pi R}{4} \sqrt{10 + \sqrt{5}}$

$\frac{7 \pi R}{2} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$

$\frac{7 \pi R}{4} \sqrt{10 + 2 \sqrt{5}}$

$\frac{7 \pi R}{4} \sqrt{10 – 2 \sqrt{5}}$

02 IME 2013 - Matemática

Considere a equação $\log_{3}{\frac{3}{x}} + (\log_{3}{x})^{2} = 1$. A soma dos quadrados das soluções reais dessa equação está contida no intervalo

$[0{,} \ 5)$

$[5{,} \ 10)$

$[10{,} \ 15)$

$[15{,} \ 20)$

$[20{,} \ \infty)$

03 IME 2013 - Matemática

Considere o sistema de equações $\begin{cases} ax + by = c \\ px + qy = d \end{cases}$, com $a$, $b$, $c$, $d$, $p$ e $q$ reais, $abcd \neq 0$, $a + b = m$ e $d = nc$. Sabe-se que o sistema é indeterminado. O valor de $p + q$ é

$m$

$\frac{m}{n}$

$m^2 - n^2$

$mn$

$m + n$

04 IME 2013 - Matemática

Seja um triângulo $ABC$. $AH$ é a altura relativa de $BC$, com $H$ localizado entre $B$ e $C$. Seja $BM$ a mediana relativa de $AC$. Sabendo que $BH = AM = 4$, a soma dos possíveis valores inteiros de $BM$ é

$11$

$13$

$18$

$21$

$26$

05 IME 2013 - Matemática

Assinale a alternativa que apresenta o mesmo valor da expressão $[4cos^{2}{(9^{\circ})} - 3][4 \cos^{2}{(27^{\circ})} - 3]$:

$\sin{(9^{\circ})}$

$\tan{(9^{\circ})}$

$\cos{(9^{\circ})}$

$\sec{(9^{\circ})}$

$\csc{(9^{\circ})}$

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