IME 2008 - Questões

Sejam $f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$, $g(x)=e^x$ e $h(x)=g(f^{-1}(x))$. Se os valores da base e da altura de um triângulo são definidos por $h(0,5)$ e $h(0,75)$ respectivamente, a área desse triângulo é igual a:

Na figura seguinte $ABCD$ é um quadrado de lado $1$ e $BCE$ é um triângulo equilátero. O valor de $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$ é igual a:

Assinale a opção correspondente ao valor da soma das raízes da equação:$$y^{3/2}+5y+2y^{1/2}+8=0$$

Assinale a opção correspondente ao valor de $\mu$ que faz com que a equação $(1+\mu)s^3+6s^2+5s+1=0$ possua raízes no eixo imaginário.

Um plano corta um cubo com aresta de comprimento $1$ passando pelo ponto médio de três arestas concorrentes no vértice A e formando uma pirâmide, conforme a figura a seguir. Este processo é repetido para todos os vértices. As pirâmides obtidas são agrupadas formando um octaedro cuja área da superfície externa é igual a: