IME 2007 - Questões

Considere uma circunferência $C$ fixa de raio $R$. A partir de dois pontos $A$ e $B$ pertencentes a $C$, traçam-se retas tangentes a C que se interceptam num ponto $P$, tal que $PA = PB = k$ . Sendo $k$ um valor constante, o lugar geométrico de $P$ é uma:

Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em quatro quadrados idênticos. Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim sucessivamente por $n$ vezes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. Quando $n → ∞ $, a soma em metros dos perímetros dos quadrados hachurados em todas as etapas é:

Considere o sistema de equações dado por:$$\begin{cases} x+y+2z=b_1\\2x-y+3z=b_2 \\ 5x-y+az=b_3\end{cases}$$Sendo $b_1,b_2$ e $b_3$ , e valores reais quaisquer, a condição para que o sistema possua solução única é:

Um grupo de nove pessoas, sendo duas delas irmãos, deverá formar três equipes, com respectivamente dois, três e quatro integrantes. Sabendo que os dois irmãos não podem ficar na mesma equipe, o número de equipes que podem ser organizadas é:

Seja $N$ um número inteiro de $5$ algarismos. O número $P$ é construído agregando-se o algarismo $1$ à direita de $N$ e o número $Q$ é construído agregando-se o algarismo $1$ à esquerda de $N$. Sabendo-se que $P$ é o triplo de $Q$, o algarismo das centenas do número $N$ é: