IME 2004 Matemática - Questões

Calcule o número natural $n$ que torna o determinante abaixo iguala $5$.$$\begin{vmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\ \log_2(n-1)&\log_2(n+1)&\log_2(n-1)&\log_2(n-1)\end{vmatrix}$$

Considere o polinômio $P(x)=x^3 +ax+b$ de coeficientes reais, com $b \neq 0$. Sabendo que suas raízes são reais, demonstre que $a<0$.

Considere uma pirâmide regular de altura $h$, cuja base é um hexágono $ABCDEF$ de lado $a$. Um plano perpendicular à base e contendo os pontos médios das arestas $AB$ e $BC$ divide a pirâmide em dois poliedros. Calcule o razão entre os volumes destes dois poliedros.

Calcule $\sin(x + y)$ em função de $a$ e $b$, sabendo que o produto $ab\neq0$, que $\sin x+\sin y=a$ e que $\cos x+\cos y=b$.

Seja uma função $f:\mathbb{R}-\{0\}\rightarrow \mathbb{R}$, onde $\mathbb{R}$ representa o conjunto dos números reais, tal que $f(a/b)= f(a)-f(b)$ para $a$ e $b$ pertencentes ao domínio de $f$. Demonstre que $f$ é uma função par.