IME 2000 - Questões

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Represente graficamente a função: $$F(\theta)=\frac{1}{1+\sin^2 \theta}+\frac{1}{1+\cos^2 \theta}+\frac{1}{1+\sec^2 \theta}+\frac{1}{1+\csc^2 \theta}$$

Determine o polinômio em $n$, com no máximo $4$ termos, que representa o somatório dos quadrados dos $n$ primeiros números naturais. $$\sum_{k=1}^{n}{k^2}$$

As arestas laterais de uma pirâmide regular com $n$ faces têm medida $l$. Determine:

a) a expressão do raio do círculo circunscrito à base, em função de $l$, de modo que o produto do volume da pirâmide pela sua altura seja máximo;

b) a expressão desse produto máximo, em função de $l$ e $n$.

Considere $a$, $b$, e $c$ números reais tais que $a<b<c$. Prove que a equação abaixo possui exatamente duas raízes, $x_1$ e $x_2$, que satisfazem a condição: $a<x_1<b<x_2<c$. $$\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x-b}+\frac{1}{x-c}=0$$

Três jogadores, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinquenta vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas. Dessas $50$ vezes :

  • a. em $28$ saiu uma face preta para o jogador $I$;

  • b. em $25$ saiu uma face branca para o jogador $II$;

  • c. em $27$ saiu uma face branca para o jogador $III$;

  • d. em $8$ saíram faces pretas para os jogadores $I$ e $III$ e branca para o jogador $II$;

  • e. em $7$ saíram faces brancas para os jogadores $II$ e $III$ e preta para o jogador $I$;

  • f. em $4$ saíram faces pretas para os três jogadores;

  • g. em $11$ saíram faces pretas para os jogadores $II$ e $III$.

Determine quantas vezes saiu uma face preta para pelo menos um jogador.

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