IME 1996 Matemática - Questões

Considerando $\log{2} = a$ e $\log{3} = b$, encontre, em função de $a$ e $b$, o logaritmo do número $\sqrt[5]{11{,}25}$ no sistema de base $15$.

Encontre todas as soluções reais da equação apresentada abaixo, onde $n$ é um número natural.$$\cos^{n}{x} - \sin^{n}{x} = 1$$

Um triângulo $ABC$ tem base $AB$ fixa sobre uma reta $r$. O vértice $C$ desloca-se ao longo de uma reta $s$, paralela a $r$ e a uma distância $h$ da mesma.

Determine a equação da curva descrita pelo ortocentro do triângulo $ABC$.

Seja $f$ uma função real tal que$$\forall x{,} \ a \in \mathbb{R} : f(x + a) = \frac{1}{2} + \sqrt{f(x) - [f(x)]^2}$$ $f$ é periódica? Justifique.

Calcule a soma abaixo:$$\frac{1}{1 \times 4} + \frac{1}{4 \times 7} + \frac{1}{7 \times 10} + \ldots + \frac{1}{2998 \times 3001}$$