IME 1995 Matemática - Questões

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Determine a condição que o inteiro $m$ deve satisfazer para que exista termo independente de $x$ no desenvolvimento de $\bigg(x^4 - \frac{1}{x^8} \bigg)^m$.

Seja $ABC$ um triângulo qualquer no qual os vértices $B$ e $C$ são fixos. Determine o lugar geométrico descrito pelo ponto $A$, variável, sabendo que os ângulos $B$ e $C$ satisfazem a relação $\tan{B} \tan{C} = k$, $k$ constante real. Discuta a solução para os diversos valores de $k$.

Obs: Considere como eixos coordenados as retas $BC$ e a mediatriz do segmento $BC$.

Dado $Z = \frac{1}{\sqrt{7 + 24i}}$, calcule as partes real e imaginária de $Z$.

Sabendo-se que a função $h(x)$ possui a seguinte propriedade $\frac{d}{dx} h(x) = -h(x)$, pedem-se:

a) A solução da equação: $\int t f(t) = x h(x) + h(x) + 1$.

b) Os valores de $c$ e $h(x)$, de tal forma que: $\int^{c}_{0} tf(t) = \frac{2-e}{e}$.

Resolva a equação trigonométrica: $$\sin{x} + \cos{x} + 2 \sqrt{2} \sin{x} \cos{x} = 0$$

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