IME 1993 Matemática - Questões

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Considere a função $f(x) = x^3 +ax^2 +bx+c$, onde $a$, $b$ e $c$ são inteiros positivos. Sabendo-se que uma das raízes dessa função é igual a $2i$, calcular os menores valores de $a$, $b$ e $c$ para que exista um ponto máximo e um ponto mínimo de reais.

Numa escola há $15$ comissões, todas com igual número de alunos. Cada aluno pertence a duas comissões e cada duas comissões possui exatamente um membro em comum. Todos os alunos participam.

a) Quantos alunos tem a escola?

b) Quantos alunos participam de cada comissão?

Prove, por indução, que:$$\begin{array} \left(a+b)^n = C^0_n a^n + C^1_n a^{n-1}b + \cdots + C^n_n b^n &\text{, para $n \in \mathbb{N}$}\end{array}$$

Indique se é verdadeiro ($V$) ou falso ($F$) o que se segue e justifique sua resposta.

a) O conjunto dos números reais não tem pontos extremos reais.

b) Existe um número em $\mathbb{Q}$ (racionais) cujo quadrado é $2$.

c) O ponto correspondente a $\frac{66}{77}$ na escala dos números reais $\mathbb{R}$ está situado entre os pontos $\frac{55}{66}$ e $\frac{77}{88}$.

Determine os valores de $x$ para que:$$\begin{vmatrix} x& 2& 4& 6 \\x &x + 2& 0& 10 \\ x^2 & 0& 4x& 4 \\x& 4& 10& x - 2 \end{vmatrix} = 0$$

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