IME 1993 - Questões

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Prove, por indução, que:$$\begin{array} \left(a+b)^n = C^0_n a^n + C^1_n a^{n-1}b + \cdots + C^n_n b^n &\text{, para $n \in \mathbb{N}$}\end{array}$$

Determine os valores de $x$ para que:$$\begin{vmatrix} x& 2& 4& 6 \\x &x + 2& 0& 10 \\ x^2 & 0& 4x& 4 \\x& 4& 10& x - 2 \end{vmatrix} = 0$$

Considere uma função $L : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ que satisfaz:

  1. $L$ é crescente, isto é, para quaisquer $0 < x < y$ tem-se $L(x) < L(y)$.

  2. $ L(x\cdot y) = L(x) + L(y)$ para quaisquer $x, y > 0$.

Mostre que:

a) $L(1) = 0$;

b) $L(1/x) = -L(x)$ para todo $x > 0$;

c) $L(x/y) = L(x) - L(y)$ para quaisquer $x, y > 0$;

d) $L(x^n) = nL(x)$ para todo $x > 0$ e natural $n$;

e) $L(\sqrt[n]{x}) = \frac{1}{n} L(x)$ para todo $x > 0$ e natural $n$;

f) $L(x) < 0 < L(y)$ sempre que $0 < x < 1 < y$.

Numa escola há $15$ comissões, todas com igual número de alunos. Cada aluno pertence a duas comissões e cada duas comissões possui exatamente um membro em comum. Todos os alunos participam.

a) Quantos alunos tem a escola?

b) Quantos alunos participam de cada comissão?

Provar que a soma das distâncias de um ponto qualquer interior a um triângulo equilátero aos lados é constante.

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