IME 1990 Matemática - Questões

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Calcule o determinante da matriz $n \times n$ que possui zeros na diagonal principal e todos os outros elementos iguais a $1$.

Determine o valor de

$p = \sin{\frac{\pi}{24}} \cdot \sin{\frac{5 \pi}{24}} \cdot \sin{\frac{7 \pi}{24}} \cdot \sin{\frac{11 \pi}{24}}$


Ligando as cidades $A$ e $B$ existem duas estradas principais. Dez estradas secundárias de mão dupla, ligam as duas estradas principais, como mostra a figura. Quantos caminhos, sem auto interseções, existem de $A$ até $B$ ?


Obs: Caminho sem auto interseções é um caminho que não passa por um ponto duas ou mais vezes

Seja $\overline{AB}$ um diâmetro de um círculo de centro $O$ e raio $R$. Sobre o prolongamento de $\overline{AB}$ escolhemos um ponto $P \ (\overline{PB} < \overline{PA})$. Partindo de $P$ tomamos uma secante que corta o círculo nos pontos $M$ e $N$ $(\overline{PM} < \overline{PN})$, de modo que $\overline{PM} = \overline{AN} = R$.


a) Mostre que a corda $MB$ é um lado de um polígono regular inscrito de dezoito lados

b) Encontre uma equação (do $3^{\circ}$ grau) que determina a distância de $P$ ao centro do círculo em função de $R$.

Considere a família de retas representada pela equação

$y = mx - \frac{p(1 + m^2)}{2m}$

onde $p$ é uma constante positiva dada e $m$ um número real variável.


a) Determine a condição para que num ponto $M = (x' {,} \ y' )$ do plano cartesiano passem duas retas dessa família.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos $M$ para os quais as retas que por eles passem sejam perpendiculares.

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