IME 1990 - Questões

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Considere a família de retas representada pela equação

$y = mx - \frac{p(1 + m^2)}{2m}$

onde $p$ é uma constante positiva dada e $m$ um número real variável.


a) Determine a condição para que num ponto $M = (x' {,} \ y' )$ do plano cartesiano passem duas retas dessa família.

b) Determine o lugar geométrico dos pontos $M$ para os quais as retas que por eles passem sejam perpendiculares.

Na elipse de excentricidade $\frac{1}{2}$, foco na origem e reta diretriz dada por $3x + 4y = 25$, determine

a) Um dos focos da elipse

 b) O outro foco

A equação da outra reta diretriz

sln: Quantos focos tem esta elipse?

Resolva a equação$$z^{5} = \overline{z}$$onde $\overline{z}$ é o conjugado do número complexo $z$.

Ligando as cidades $A$ e $B$ existem duas estradas principais. Dez estradas secundárias de mão dupla, ligam as duas estradas principais, como mostra a figura. Quantos caminhos, sem auto interseções, existem de $A$ até $B$ ?


Obs: Caminho sem auto interseções é um caminho que não passa por um ponto duas ou mais vezes

IMEBOL é um jogo de três jogadores. Em cada partida o vencedor marca a pontos, o segundo colocado marca $b$ pontos e o terceiro colocado marca $c$ pontos, onde $a > b > c$ são inteiros positivos. Certo dia, Marcos, Flávio e Ralph resolvem jogar IMEBOL e após algumas partidas a soma dos pontos foi: Marcos: $20$, Flávio: $10$, Ralph: $9$. Sabe-se que Flávio venceu a segunda partida. Encontre quantos pontos cada um marcou em cada partida disputada.


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