IME 1989 Matemática - Questões

Determine o coeficiente de $x^{-9}$ no desenvolvimento de$$\bigg(x^2 + \frac{1}{x^5} \bigg)^2 \cdot \bigg(x^3 + \frac{1}{x^4} \bigg)^5$$

Resolva a seguinte desigualdade:$$\frac{\cos{2x} + \cos{x} - 1}{\cos{2x}} \geq 2$$

para $0 \leq x \leq \pi$.

Esboce o gráfico da função$$y = f(x) = 5x^{2/3} - x^{5/3}$$assinalando os pontos críticos.

Numa circunferência de centro $O$ e de diâmetro $AB = 2R$, prolonga-se o diâmetro $AB$ até um ponto $M$, tal que $BM = R$. Traça-se uma secante $MNS$ tal que $MN = NS$, onde $N$ e $S$ são os pontos de interseção da secante com a circunferência. Determine a área do triângulo $MOS$.

Um ponto se move de modo que o quadrado de sua distância à base de um triângulo isósceles é igual ao produto de suas distâncias aos outros dois lados do triângulo.

Determine a equação da trajetória deste ponto, identificando a curva descrita e respectivos parâmetros.