IME 1987 Matemática - Questões

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As questões das décadas 1940 a 1980 estão em manutenção!
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Dois números complexos $Z_1$ e $Z_2$, não nulos, são tais que $|Z_1 + Z_2| = |Z_1 – Z_2|$ Mostre que $\frac{Z_2}{Z_1}$ é imaginário puro.

Seja $ABCD$ um quadrilátero circunscritível. Demonstre que os círculos inscritos nos triângulos $ABC$ e $ACD$ têm, com a diagonal $AC$, um mesmo ponto em comum.

Determine as soluções reais do sistema$$\begin{cases}x^2y + xy^2 = 70 \\ (x + y)\cdot (x^2 + y^2) = 203 \end{cases}$$

Resolva a inequação$$\frac{2 \cos x + 2 \sin x + \sqrt2}{\cos x - \sin x}< 0$$

Dados dois conjuntos $A$ e $B$, define-se $$A\Delta B = (A - B) \cup (B - A)$$ Prove que dados três conjuntos arbitrários $X$, $Y$ e $Z$$$X \cap (Y\Delta Z) = (X \cap Y )\Delta (X \cap Z)$$

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