IME 1986 - Questões

Seja $N∗$ o conjunto dos números naturais não nulos e $n \in N^∗$. Mostre que a relação $R_n = \{(a, b)|a, b \in N^∗\text{ e $|a - b|$ é múltiplo de n}\}$ é uma relação de equivalência.

A derivada de ordem $n$ de uma função $y = f(x)$ é a primeira derivada de ordem $n−1$ da mesma função, ou seja:$$y^{(n)} = \frac{d}{dx}y^{(n-1)}$$Calcule $[(x^2 + 1) \sin x]^{(20)}$.

Seja a curva representada pela equação$$y =\frac{w\ell}{1 + w\ell} + \frac{1}{1 + w\ell} \\  \sum_{i=1}^{4}{\frac{w}{w+\lambda_i}}$$Esboce o gráfico de $y$, caracterizando as assíntotas, num sistema cartesiano ortogonal.

No produto abaixo, o “*” substitui algarismos diferentes de “$3$” e não necessariamente iguais. Determine o multiplicando e o multiplicador.

Sabendo-se que $x$ é um número real, $-1 \leq x \leq 1$, $0 \leq \arccos x \leq \pi$ e $n$ é um número inteiro positivo, mostre que a expressão$$f_n(x) = \cos (n \arccos x)$$pode ser desenvolvida como um polinômio em $x$, de grau $n$, cujo coeficiente do termo de maior grau é igual a $2^{n-1}$.