IME 1984 - Questões

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As questões das décadas 1940 a 1980 estão em manutenção!
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Quais as relações entre os coeficientes reais $a{,} \ b{,} \ c{,} \ d$ da equação

$x^2 + 2(a + ib)x + c + id = 0$

de modo que ela seja satisfeita para um valor real $x = k$?


Obs: $i^2 = -1$.

Determine a soma de todos os números inteiros que são obtidos permutando-se, sem repetição, os algarismos $1{,} \ 2{,} \ 3{,} \ 4$ e $5$.


São dadas duas retas paralelas $r$ e $r'$ e um ponto $O$. Determine o lugar geométrico dos pés das perpendiculares baixadas de $O$ aos segmentos da reta $AA'$, vistos de $O$ sob um ângulo reto e tais que $A$ pertence a $r$ e $A'$ pertence a $r'$. Sabe-se que:

Distância de $O$ a $r : d$.

Distância de $O$ a $r' : p$.

Distância de $r$ a $r' : p - d$.


Determine o polinômio

$$p(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$$

tal que $p(x) = p(1 - x){,} \ p(0) = 0$ e $p(-1) = 6$.


Seja $D$ o determinante da matriz $A = [a_{ij}]$ de ordem $n$, tal que $a_{ij} = |i - j|$. Mostre que:

$D = (-1)^{n-1} \cdot (n - 1) \cdot 2^{n-2}$


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