IME 1966 - Questões

Calcule a soma da série: 

$1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \ldots$

Determine o valor numérico da área delimitada pelas curvas $x = 2y + 3$ e $x = y^2 − 3y + 1$.

Resolva a equação: $x^5 = 16(\sqrt{3} + i)$, apresentando o resultado sob forma polar.

Dada a equação $x^4 + 4x^3 − 4cx + 4d = 0$, sabendo que a mesma possui uma raiz dupla da forma $(a + b \sqrt{ 3})$ e que $c$ e $d$ são números racionais, determine $a, b, c$ e $d$.

Qual o valor numérico da área do maior retângulo, de lados paralelos aos eixos cartesianos ortogonais, que se pode construir na região limitada pelas duas curvas: 

$ \begin{cases} x^2 + 3y -36 =0 \\ x^2 - 6y -36 = 0 \end{cases}$