IME 1965 Matemática - Questões

Determine a relação que deve existir entre os números $m$, $n$, $p$ e $q$, para que se verifique a seguinte igualdade entre os termos da mesma progressão aritmética:$$a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$$

$\overline{AB} = \overline{AC} \neq \overline{BC}$. Expressar a diferença $\overline{AB}^2 - \overline{AM}^2$ em função dos segmentos aditivos da base.

Um observador situado a $h$ metros acima do nível do mar vê a linha do horizonte segundo um ângulo $\alpha$ com a horizontal.

Calcular o raio da Terra, em função de $h$ e $\alpha$.

Calcule: $\displaystyle\lim_{x \to 2} {\sqrt{x \cdot \sqrt{x \cdot \sqrt{x \cdot \sqrt{x \cdots}}}}}$

Dividida a área de um círculo de raio $R$, em $n$ partes equivalentes, por meio de circunferências concêntricas de raios $r_{1}{,} \ r_{2}{,} \ r_{3}{,} \ldots {,} \ r_{i}{,} \ldots {,} \ r_{n - 1}$, estabelecer o valor de $r_i$ em função de $R$, $n$ e $i$.