IME 1965 - Questões

Determine as raízes de:$$f(x) = x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 4x + 4 = 0$$

Sabendo-se que:$$D_{1} = \text{m.d.c.} [f(x){,} \ f^\prime (x)] = x^2 - x - 2$$

Nos retângulos à direita escreva $C$ ou $D$ conforme a série seja convergente ou divergente:$$1 + \frac{1}{\sqrt[3]{2}} + \frac{1}{\sqrt[3]{3}} + \frac{1}{\sqrt[3]{4}} + \ldots\quad\square$$$$e^{-1} + e^{-2} + e^{-3} + \ldots\quad\square$$$$\frac{1}{2} \cdot \log{2} + \frac{1}{3} \cdot \log{3} + \frac{1}{4} \cdot \log{4} + \ldots\quad\square$$

Calcule o logaritmo de $625$ na base $(5 \cdot \sqrt[3]{5})$.

Determine a equação da curva em que o coeficiente angular em cada ponto $(x{,} \ y)$ é igual a: $4 - 2x$, e que passa pelo ponto $(2{,} \ 5)$.

As tangentes traçadas de um ponto $P \ (x{,} \ 0)$ às circunferências de centros $C_{1} \ (2{,} \ 2)$ e $C_{2} \ (7{,} \ 7)$ e raios respectivamente $R_{1} = 2$ e $R_{2} = \sqrt{6}$, são iguais. Determine $x$.