IME 1964 Matemática - Questões

Quantas cores diferentes se podem formar, usando as sete cores do espectro fundamental?

Um cone circular reto, de raio da base igual a $R$ e altura $h$, está circunscrito a uma esfera de raio $r$. Provar que $$\frac{2}{rh}=\frac{1}{r^2}-\frac{1}{R^2}$$

Simplifique a expressão: $$\frac{-\sin(-a) + 3\cos(90^\circ + a) + 2\sin(180^\circ + a)}{\sin(90^\circ + a) + \cos (180^\circ - a) + \sin (90^\circ - a)}$$

Demonstre, usando a fórmula de binômio de Newton, que $$C_0^n+C_1^n+C_2^n+C_3^n+\cdots+C_{n-1}^n+C_n^n=2^n$$

Uma corda corta o diâmetro de um círculo segundo um âgulo de $45^\circ$. Demonstrar que a soma dos quadrados dos segmentos aditivos $m$ e $n$, em que a corda fica dividida, é igual ao dobro do quadrado do raio do círculo.