IME 1955 Matemática - Questões

Resolver a equação exponencial $$5^{x-1} – 5^{-x-1} =\frac{3}{4}$$sabendo que $\log 20 = 1,3010$.

Em uma circunferência de diâmetro $AB = 2R$ traça- se uma corda $AC$ que forma com $AB$ um ângulo $\alpha$. Determinar o valor de $\alpha$ de modo que, fazendo-se girar a figura em torno de $AB$, a área gerada pela corda $AC$ seja equivalente a $3/2$ da área gerada pelo arco $BC$.

Achar a equação da hipérbole equilátera que passa pelos pontos $A(0, 3)$ e $B(3, 3)$ e é tangente ao eixo dos $x$ na origem.

Resolver a equação

$$\begin{vmatrix}x& 0& 0& -5\\-1& x& 0& 6 \\0& -1& x& 7 \\0& 0& -1& 2\end{vmatrix}= 0$$

Duas circunferências de raios $R$ e $r$, respectivamente, são tangentes em $C$; traça-se uma tangente externa $AB$ comum às duas circunferências, cujos pontos de contato são $A$ e $B$. Sabendo-se que $R = 14\ m$, que o ângulo formado pela corda $AC$ com o raio $AO$ é $\alpha = 23^\circ 35^\prime$ e que $\sin \alpha = 0,400$, determinar: