IME 1951 - Questões

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As questões das décadas 1940 a 1980 estão em manutenção!
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Empregando a fórmula de Moivre, calcular: $$y=(1+i\sqrt{3})^3$$

Demonstrar a seguinte proposição: E condição necessária para que a série $\sum_{i}^{\infty}u_n$ seja convergente, que a todo número $\epsilon$ positivo arbitrariamente pequeno corresponda um índice $n_0$ tal que$$|S_{n+p} - S_n| <\epsilon$$ para $n ≥ n_0$, sendo $p$ inteiro positivo qualquer.

$S_n=\sum_{i}^{\infty}u_n$
A demonstração de que a condição é suficiente não é pedida.

Determinar a derivada da função $y =\sqrt{x^2+x}$ a partir da própria definição de derivada de uma função, verificando o resultado obtido mediante a aplicação das regras de derivação.

Calcular o valor da expressão: $$y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$
para $$x=\frac{1}{2}\log{\frac{1+u}{1-u}}$$

$e$ = base do sistema dos logaritmos neperianos; $\log$ = logaritmo neperiano.

Uma bola de borracha que cai de uma altura $h$, após chocar o solo atinge uma altura igual a $2/3$ da anterior;esta lei se mantém nos choques subsequentes. Determinar o limite para o qual tende o caminho total percorrido pela bola quando o número de choques cresce indefinidamente.

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