ESPCEX 2015 Matemática - Questões

Fazendo $x = \ln{5}$ temos que $y = e^{x} - e^{-x} = \frac{a}{b}, \space a \in \mathbb{Z} \space e \space b \in \mathbb{Z^{*}}$, $a$ e $b$ primos entre si. Logo $a + b$ é igual a

Considere as equações de nove retas distintas do plano cartesiano:

$$\begin{align} & r_{1}: y = 3x - 2 & r_{2}: 3x + y + 1 = 0 & \qquad r_{3}: -x - 3y + 1 = 0 \\ & r_{4}: y = -\frac{x}{3} + \frac{1}{3} & r_{5}: 3x + 9y + 2 = 0 & \qquad r_{6}: y = -3x + 7 \\ & r_{7}: 6x + 2y + 4 = 0 & r_{8}: -3x - y - 9 = 0 & \qquad r_{9}: \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 1 \end{align}$$

Sorteando aleatoriamente e sem reposição duas retas dessa lista, a probabilidade de obter duas retas cuja interseção é um conjunto não vazio é

Para que o sistema linear $\begin{cases} x + y + az = 1 \\ x + 2y + z = 2 \\ 2x + 5y - 3z = b \end{cases}$, em que $a$ e $b$ são reais, seja possível e indeterminado, o valor de $a + b$ é igual a

Considere os polinômios $p(x) = x^{80} + 3x^{79} - x^{2} - x - 1$ e $b(x) = x^{2} + 2x - 3$. Sendo $r(x)$ o resto da divisão de $p(x)$ por $b(x)$, o valor de $r \left ( \frac{1}{2} \right )$ é igual a

Considere as funções reais $f$ e $g$, tais que $f(x) = \sqrt{x} + 4$ e $f(g(x)) = x^{2} - 5$, onde $g(x)$ é não negativa para todo $x$ real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de $x$, que satisfazem os dados do enunciado.