AFA 2006 Matemática - Questões

Considere o número complexo $Z = \frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2}$ e calcule $Z^n$. No conjunto formado pelos quatro menores valores naturais de $n$ para os quais $Z^n$ é um número real,

Analise as afirmativas abaixo referentes aos números complexos $Z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$ e $w = 1 - i$

• $(01)$ $|z|.w^{10}$ é um número imaginário puro.

• $(02)$ O afixo de $w^–1$ é o ponto $\left (\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right)$

• $(04)$ A forma trigonométrica de $\overline{z} = \cos{\frac{11\pi}{6}} \sin{\frac{11\pi}{6}}$

• $(08)$ As raízes quartas de $w$ são vértices de um quadrado inscrito numa circunferência de centro na origem e raio $r = \sqrt[4]{2}$

Somando-se os números associados às afirmativas verdadeiras obtém-se um total $t$, tal que

São dadas uma progressão aritmética e uma progressão geométrica alternante com primeiro termo igual a $1$. Multiplicando-se os termos correspondentes das duas seqüências obtém-se a seqüência $(–1, 1, 3, ...)$. A soma dos $5$ primeiros termos desta seqüência é

Analise as proposições abaixo classificando-as em (V) verdadeira(s) ou (F) falsa(s).

• ( ) O resto da divisão de $P(x) = 5x^{2n} – 4x^{2n+1} – 2 (n i ^\circ)$ por $x + 1$ varia de acordo com o valor de $n$

• ( ) Se $P(x) + xP(3 – x) = x^2 + 1$, então $P(3) = 13$

• ( ) Se $1 + i$ é raiz de $P(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$, sendo $ [b, c, d] \subset $ ˛, então uma das raízes tem forma trigonométrica igual a $\sqrt{2} \left (\cos{\frac{3\pi}{4}},\sin{\frac{3\pi}{4}} \right)$

O conjunto solução $S$ de $P(x) = 0$, possui $3$ elementos. Sabendo-se que $P(x) = x^6 – mx^4 + 16x^3$ , onde $m$ $i$ ˛, assinale a alternativa INCORRETA.